másodrendű differenciálegy.

Másodrendűnek nevezünk egy közönséges differenciálegyenletet, ha az $y(x)$ függvény legmagasabb rendű deriváltja $y''(x)$ az egyenletben.

Másodrendű hiányos differenciálegyenletek

Csak $y''(x)$ , $x$ és konstansok szerepelnek az egyenletben. Az egyenlet $y''(x)=f(x)$ alakra rendezhető és kétszer integrálva megkapjuk $y(x)$ megoldást.

Az $y(x)$ hiányzik az egyenletből, ekkor $y'(x)=p(x)$, $y''(x)=p'(x)$ helyettesítéssel elsőrendűre vezethető vissza a differenciálegyenlet.

A differenciálegyenletből hiányzik az $x$ független változó. Ilyenkor $y'(x)=r(y)$ helyettesítést végezzük, azaz $y'(x)$-et $y$ függvényeként írjuk fel. Így $$ y''=\frac{dr}{dx} =\frac{dr}{dy} \frac{dy}{dx}=\frac{dr}{dy} y'=\frac{dr}{dy} r. $$

Megoldott feladatok:

Az $x^2y''+y''-2x=0$ másodrendű hiányos differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!
Az $(1+x^2)y''=2xy'$ másodrendű hiányos differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!
Az $yy''=(y')^2$ másodrendű hiányos differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!

Másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek

Lineárisnak nevezünk egy másodrendű differenciálegyenletet, ha $y$, $y'$, $y''$ csak elsőfokon szerepel az egyenletben és szorzatuk nem szerepel benne. Állandó együtthatós a differenciálegyenlet, ha $y$, $y'$, $y''$ együtthatói konstansok. Általánosan $$ay''+by'+cy=f(x).$$

Homogén másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet általános alakja $ay''+by'+cy=0$.(Az előző speciális esete) A megoldást $y=e^{\lambda x}$ alakban keressük (azaz feltételezzük, hogy a megoldás ilyen alakú), így $y'=\lambda e^{\lambda x}$, $y''=\lambda ^2 e^{\lambda x}$. Ezeket beírva az $ay''+by'+cy=0$ egyenletbe $y=e^{\lambda x}$ kiemelhető, így az egyenlet alakja a következő: $e^{\lambda x}\left(a\lambda ^2+b\lambda +c\right)=0 $ , ahol $e^{\lambda x}\not=0$.

Az $ay''+by'+cy=f(x)$ lineáris állandó együtthatós inhomogén egyenlet megoldását $y = y_h+p$ alakban keressük, ahol $y_h$ a feladat homogén változatának általános megoldása, $p$ egy $f$ típusú próbafüggvény alapján kapott megoldás.

$f(x)$	$p(x)$
$x^3$	$A_3x^3+A_2x^2+A_1 x+A_0$
$e^{\alpha x}$	$Ae^{\alpha x}$
$\sin (\alpha x)$	$A\sin ({\alpha x})+B\cos ({\alpha x})$
$\cos (\alpha x)$	$A\sin ({\alpha x})+B\cos ({\alpha x})$

Megoldott feladatok:

Az $y''-7y'+10y=0$ homogén másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!
Az $y''-10y'+25y=0$ homogén másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!
Az $y''-5y'+7y=0$ homogén másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!
Az $y''+5y'+6y=12x$ másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!
Az $y''-2y'+10y=e^{2x}$ másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!

Nyomtatható tananyagok

előadás
példatár
gyakorló feladatok

Másodrendű differenciálegyenletek

Másodrendű hiányos differenciálegyenletek

Megoldott feladatok:

Másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek

Megoldott feladatok:

Nyomtatható tananyagok

előadás

példatár

gyakorló feladatok

Vissza az előző oldalra