Kétváltozós függvények vizsgálata I.


Igen sok természeti törvény nem két, hanem több változó mennyiség között fennálló kapcsolatot fejez ki. Például egy körhenger térfogata:
$$V=\pi r^2 m,$$
az alapkör $r$ sugarának és a henger $m$ magasságának a függvénye.  Míg  Ohm törvénye szerint az áramerősség:
$$I=\frac{U}{R}$$
a feszültség és az ellenállás függvénye.

Kétváltozós függvény fogalma

Legyen $D$ a valós $(x ,y)$ számpárok egy halmaza a valós $xy$-síkon, azaz $D\subseteq \mathbb{R}^2$. A valós
értékű $f$ függvény a $D$ tartomány minden eleméhez egy
$$ z=f(x,y)$$
valós értéket rendel. Jelekkel: $f:D\rightarrow \mathbb{R}$.

A sík topológiai alapfogalmai:

Egy $(x_0,y_0)$ pont a $T$ halmaz belső pontja, ha van egy olyan pozitív sugarú $(x_0 ,y_0)$ középpontú körlap, amely teljes egészében $T$ -ben fekszik. Egy $(x_0,y_0)$ pont a $T$ halmaz határpontja, ha bármely pozitív sugarú $(x_0,y_0)$ középpontú körlap tartalmaz a halmazhoz tartozó és a halmazhoz nem tartozó pontokat is. A halmaz belső pontjai alkotják a halmaz belsejét, a határpontok a halmaz határát.


A halmaz nyílt, ha minden pontja belső pont, zárt, ha tartalmazza minden határpontját.


A sík egy ponthalmaza korlátos, ha benne fekszik egy kör belsejében. Ha nem, akkor a ponthalmaz nem
korlátos.


Kétváltozós függvény grafikonja, szintvonalai

Az $\mathbb{R}^3$ tér $(x,y,f(x,y))$ koordinátájú pontjainak összességét az $f$ függvény $\Gamma_f$ grafikonjának nevezzük. A grafikont a $z = f(x ,y)$ felületnek is hívjuk. A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans $c$ értéket veszi fel, azaz $f(x,y) = c$, az $f$ függvény szintvonalának, vagy nívóvonalának hívjuk.



Megoldott feladatok:

  1. Tekintsük az $f(x ,y) = 100- x^2-y^2$ függvényt. Adja meg az értelmezési tartományát és rajzolja meg az $f(x, y) = 0$, $f(x,y) = 51$ és $f(x,y) = 75$ szintvonalakat $f$ értelmezési tartományába! A megoldás itt tekinthető meg!

  2. Tekintsük az $f(x ,y) = \sqrt{4- x^2-y^2}$ függvényt. Adja meg az értelmezési tartományát és rajzolja meg az $f(x, y) = 0$ és $f(x,y) = 2$ szintvonalakat $f$ értelmezési tartományába! A megoldás itt tekinthető meg!

  3. Adja meg az $f(x)=\sqrt{y-x^2}$ függvény értelmezési tartományát, majd jellemezze is azt! A megoldás  itt tekinthető meg!

  4. Adja meg az $f(x)=\ln{(4-y^2-x^2)}$ függvény értelmezési tartományát, majd jellemezze is azt! A megoldás  itt tekinthető meg!

  5. Adja meg az $f(x)=\ln{(x-2y)}$ függvény értelmezési tartományát, majd jellemezze is azt! A megoldás  itt tekinthető meg!

  6. Adja meg az $f(x)=\frac{1}{32-2y^2-2x^2}$ függvény értelmezési tartományát, majd jellemezze is azt! A megoldás  itt tekinthető meg!

  7. Adja meg az $f(x)=\frac{1}{x-y^2}$ függvény értelmezési tartományát, majd jellemezze is azt! A megoldás  itt tekinthető meg!

  8. Adja meg az $f(x)=\sqrt{y^2-x+3}$ függvény értelmezési tartományát, majd jellemezze is azt! A megoldás  itt tekinthető meg!

Kétváltozós függvény határértéke

Legyen értelmezve a $z=f(x ,y)$  kétváltozós függvény az $(x_0 ,y_0)$ pont valamely $K$  környezetében. Azt mondjuk, hogy az $f(x ,y)$-nak az  $(x_0 ,y_0)$ pontban a határértéke $A$, ha bármely $$\mathop{\{(x_n ,y_n)\}}_{n\to\infty}\to (x_0 ,y_0) $$ konvergens pontsorozatra, amelyre $(x_n ,y_n)\not = (x_0 ,y_0)\in K$  teljesül,
  $$ \lim_{(x_n, y_n)\to (x_0,y_0)}f(x_n ,y_n)=A$$

Ha az $f(x ,y)$ értékek tetszőlegesen közel vannak egy $A$ értékhez minden olyan $(x,y)$ pontban, ami elég közel van $(x_0 ,y_0)$-hoz, de nem esik egybe $(x_0,y_0)$-lal, akkor azt mondjuk, hogy $f$ tart $A$-hoz, ha $(x,y)$ tart $(x_0,y_0)$-hoz.

Feladatok:

  1. Számítsa ki az alábbi határértékeket! $$ \lim\limits_{(x,y)\to(0,1)} \frac{x-xy+3}{x^2y+5xy-y^3}, \quad \lim\limits_{(x,y)\to(3,-4)} \sqrt{x^2+y^2}$$

  2.  Mutassuk meg, hogy az alábbi $f$ függvénynek nem létezik a határértéke az origóban! $$f(x,y) = \frac{2xy}{x^2 +y^2}$$ (Ötlet: Rajzolja meg az $f(x, y) = 1$, $f(x,y) = -1$ szintvonalakat $f$ értelmezési tartományába!)

Segédanyagok

Vissza az előző oldalra