-
Kétváltozós függvények vizsgálata III.
Szélsőértékek és nyeregpontok
Legyen $f(x ,y)$ egy olyan tartományban értelmezve, amely az $(a,b)$ pontot tartalmazza. Ekkor
- $f(a,b)$ egy helyi (lokális vagy relatív) maximum,
ha van olyan $(a,b)$ középpontú nyílt körlap, hogy $f(a ,b) > f(x
,y)$ minden olyan pontra teljesül, ami a körlapon és az $f$ értelmezési
tartományában van.
- $f (a,b)$ egy helyi (lokális vagy relatív) minimum,
ha van olyan $(a,b)$ középpontú nyílt körlap, hogy $f (a,b) < f
(x,y)$ minden olyan pontra teljesül, ami a körlapon és az $f$
értelmezési tartományában van.
Egy kétváltozós függvény szélsőértéket
- vagy a tartomány határán vesz fel,
- vagy olyan pontban , ahol mindkét parciális derivált nulla,
- vagy olyan pontban, ahol egyik, vagy másik parciális derivált nem létezik.
Mindamellett egy $(a,b)$ belső pontban nullává váló parciális
deriváltak még nem garantálják, hogy abban a pontban szélsőérték van. A
felület, ami a függvény grafikonja, lehet nyereg alakú $(a,b)$ felett,
és ott metszi az érintősíkját.
Egy differenciálható $f(x,y)$ függvénynek nyeregpontja
van az $(a,b)$ kritikus pontban, ha minden $(a,b)$ középpontú körlapon
van olyan $(x,y)$ pontja az értelmezési tartománynak, hogy $f(x,y) <
f(a,b)$, és van olyan is, hogy $f(x,y) > f(a,b)$.
Tétel.(Szélső érték szükséges feltétele.)
Ha $f(x ,y)$-nak lokális maximuma
vagy minimuma van az értelmezési tartományának $(a,b)$ belső pontjában,
és itt az első parciális deriváltak léteznek, akkor $f'_x(a ,b) = 0$ és
$f'_y(a,b) = 0$.
Tétel.(Szélső érték elégséges feltétele.)
Tegyük fel, hogy $f(x ,y)$ első és
második parciális deriváltjai folytonosak egy $(a ,b)$ középpontú
körlapon, és $f'_x(a ,b) = f'_y(a ,b) = 0$. Ekkor
- ha $f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2 > 0$ és $f''_{xx} > 0$, akkor $f$-nek $(a,b)$-ben lokális minimuma van.
- ha $f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2 > 0$ és $f''_{xx} < 0$, akkor $f$-nek $(a,b)$-ben lokális maximuma van.
- ha $f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2 < 0$, akkor $f$-nek $(a,b)$-ben nyeregpontja van.
- ha $f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2 = 0$, akkor a második deriváltakkal nem eldönthető,hogy van-e szélsőértéke $f$-nek $(a ,b)$-ben.
Megoldott
feladatok:
- Vizsgáljuk az $f(x ,y) =x^3-3x^2+2xy+y^2-4$ hozzárendelési
szabállyal megadott kétváltozós függvényt szélsőérték szempontjából a parciális deriváltak segítségével! A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Egy téglatest éleinek összege $48\,\mathrm{cm}$. Mikor lesz a felszíne maximális? A
megoldás itt
tekinthető meg!
Segédanyagok
- előadás
- példatár
- gyakorló feladatok, megoldás