Integrálszámítás alkalmazása


Ezen fejezetben néhány alkalmazási lehetőséget nézünk.

Területszámítás

I. Görbe alatti terület:

Az $y = f(x)$ függvény grafikonja és az $x$-tengely által határolt tartomány területét az $[a ,b]$ intervallumon úgy határozzuk meg, hogy
  1. $f$ zérushelyeivel részintervallumokra bontjuk $[a ,b]$-t.
  2. Integráljuk minden részintervallumon $f$-et.
  3. Az integrálok abszolút értékét összeadjuk.
II. Görbék által határolt tartományok területe:

 Ha $f$ és $g$ az $[a,b]$ intervallumon folytonos függvények, továbbá $f (x)\geq g(x)$, akkor az $y = f (x)$ és $y = g(x)$ görbék közötti tartomány $a$ és $b$ közé eső darabjának területe az $(f - g)$ függvény $a$-tól $b$-ig vett integrálja:
$$T = \int \limits_{a}^b [f(x) - g(x)] dx$$

Megoldott feladatok:

  1. Az $x$-tengely és az $y = 6 - x - x^2$ parabola által határolt tartomány területének kiszámítása itt tekinthető meg!

  2. Az $f(x) = x^2+3x-4$ és a $g(x) = 4x+2$ függvények grafikonja által közbezárt tartomány területnek kiszámítása itt tekinthető meg!

  3. Az $f(x) = x+5$ és a $g(x) = \sqrt{7x+29}$ függvények grafikonja által közbezárt tartomány területnek kiszámítása itt tekinthető meg!

  4. Az $y = \frac{3x}{x^2+2}$ görbe és az $y = x$ egyenes által közbezárt tartomány területnek kiszámítása itt tekinthető meg!


Forgástest térfogata

Legyen az $f$ függvény az $[a,b]$ intervallumon folytonos és nemnegatív. Jelöljük $T$-vel az $y=f(x)$ függvény grafikonja, az $x=a$ és $x=b$ egyenesek, valamint az $x$ tengely által határolt síkidomot. Ha az $x$ tengely körül megforgatjuk az $y=f(x)$ függvény grafikonját, a $T$ síkidom egy forgástestet állít elő. Ennek a forgástestnek adja meg a térfogatát a következő formula:

Tétel:
Az $[a,b]$ intervallumon folytonos és nemnegatív $y=f(x)$ függvény $x$ tengely körüli megforgatásakor keletkezett forgástest térfogata
$$V = \pi \int \limits_{a}^b f(x)^2 dx $$

Megoldott feladatok:

  1. Az $f(x)=\sqrt{ln(x)}$ és az $x$ tengely által az $[1,e]$ intervallumon határolt tartomány $x$ tengely körüli megforgatásakor keletkezett forgástest térfogatának kiszámítása itt tekinthető meg!

  2. Az $f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{x^3+2}}$ és az $x$ tengely által a $[0,1]$ intervallumon határolt tartomány $x$ tengely körüli megforgatásakor keletkezett forgástest térfogatának kiszámítása itt tekinthető meg!

Forgástest felszíne

Legyen az $f$ függvény az $[a,b]$ intervallumon folytonos és nemnegatív. Jelöljük $T$-vel az $y=f(x)$ függvény grafikonja, az $x=a$ és $x=b$ egyenesek, valamint az $x$ tengely által határolt síkidomot. Ha az $x$ tengely körül megforgatjuk az $y=f(x)$ függvény grafikonját, a $T$ síkidom egy forgástestet állít elő. Ennek a forgástest határoló felületének adja meg a felszínét a következő formula:

Tétel: 
Az $[a,b]$  intervallumon folytonos és nemnegatív $y=f(x)$   függvény $x$  tengely körüli megforgatásakor keletkezett forgástest felszíne
        $$A = 2\pi\int \limits_{a}^b f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx$$

Megoldott feladatok:

  1. Az $f(x)=x^3$ és az $x$ tengely által a $[0,2]$ intervallumon határolt tartomány $x$ tengely körüli megforgatásakor keletkezett forgástest határoló felületének a felszínétnek a kiszámítása itt tekinthető meg!

Segédanyagok

Vissza az előző oldalra