-
Határozatlan integrál kiszámítása II.
További integrálási módszereket tekintünk, melyeket ugyancsak
deriválási szabályokból kapunk meg.
Parciális integrálás
A szorzat függvény deriválási szabályát véve:
$$(f(x) \cdot g(x))'= f'(x)\cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x).$$
Majd mindkét oldalt integrálva:
$$f(x) \cdot g(x)= \int f'(x)\cdot g(x) dx + \int f(x)
\cdot g'(x) dx$$
és átrendezve a kapott egyenlőséget kapjuk az alábbi tételt:
Tétel: Ha $f$ és $g$
deriválható függvények az $I$ intervallumon és $f(x) g'(x)$ integrálja
létezik az $I$-n, akkor
$$\int f(x)\cdot g'(x) dx=
f(x)\cdot
g(x) -\int f'(x)\cdot g(x) dx.$$
Megoldott feladatok:
- Az $\int x e^x dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int x \sin(x) dx$ határozatlan integrál
kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int ln(x) dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int (2x+1) ln(x) dx$ határozatlan integrál
kiszámítása itt
tekinthető meg!
Helyettesítéses
integrálás
Az összetett függvény deriválási szabályából kaptuk, hogy ha
$F(x)$ a $f(x)$ függvény egy primitív függvénye, akkor bármely olyan
differenciálható $g(x)$ függvény esetén, amelyre $f(g(x))$ értelmezve
van egy intervallumon
$$\int f(g(x))g'(x) dx= F(g(x))+c.$$
Amit formálisan úgy alkalmazhatunk, hogy $g(x)$ helyébe egy új
változót, mondjuk $y$-t helyettesítünk, $g'(x)dx$ helyébe pedig $dy$-t,
azaz:
$$\int f(g(x))g'(x) dx=\int f(y) dy=F(y)+c= F(g(x))+c.$$
A következőkben ismét speciális esetekre alkalmazzuk az előbbi formulát.
1. Tétel: Az $\int R(e^x) dx$
alakú integrál $y=e^x$ helyettesítéssel racionális függvény
integrálására vezethető vissza. (Ahol $R(u)$ tetszőleges racionális
függvényt jelent.)
2.
Tétel: Az $\int
R(x,\sqrt[n]{ax+b}) dx$ alakú integrál $y=\sqrt[n]{ax+b}$
helyettesítéssel racionális függvény integrálására vezethető vissza.
(Ahol $R(u,v)$ tetszőleges racionális függvényt jelent.)
3. Tétel:
Az $\int R(x,\sqrt{a-bx^2}) dx$ alakú
integrál $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\sin y$ helyettesítéssel
trigonometrikus függvények integrálására vezethető vissza. (Ahol
$R(u,v)$ tetszőleges racionális függvényt jelent.)
Megoldott feladatok:
- Az $\int x^2 \sin(x^3) dx$ határozatlan integrál
kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$ határozatlan
integrál kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int \frac{e^x-1}{e^{3x}} dx$ határozatlan
integrál kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int \frac{3x^2+2}{\sqrt[3]{6x+4}} dx$ határozatlan
integrál kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int \sqrt{1-x^2} dx$ határozatlan integrál
kiszámítása itt
tekinthető meg!
Segédanyagok