Differenciálszámítás



Legyen az $f(x)$ függvény az $x_0$ pontban és annak valamely $I$ környezetében értelmezve. Ha létezik és véges a
$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \qquad (x\in I)$$
határérték, akkor ezt a határértéket $f(x)$ függvény $x_0$ pontban vett differenciálhányadosának hívjuk, az $f(x)$-et pedig differenciálhatónak nevezzük a. Jelölése: $f'(x_0)$.

Ha bármely $x_0 \in (a,b)$ esetén létezik az $f(x)$ függvény differenciálhányadosa, vagy pillanatnyi változásának a sebessége, az $x_0$ pontban, akkor azt a hozzárendelést, mely az $x_0 \in (a,b)$ minden egyes pontjához hozzárendeli az  $f'(x_0)$ értéket az $f(x)$ függvény deriváltfüggvényének vagy deriváltjának nevezzük és $f'(x)$-vel jelöljük.

Elemi függvények deriváltjai
$$f(x)$$ $$f'(x)$$
$$f(x)$$
 $$f'(x)$$
$$f(x)$$ $$f'(x)$$
$c$
 $0$
$\sin x$
$\cos x$
$\arcsin x$ $\frac{1}{\sqrt {1- x^2}}$, ahol $|x|<1$
$x^n$
 $nx^{n-1}$
$\cos x$
 $-\sin x$
$\arccos x$ $\frac{-1}{\sqrt {1- x^2}}$, ahol $|x|<1$
$e^x$
 $e^x$
${\rm tg }\ x$
 $\frac{1}{\cos^2 x}$
${\rm arctg }\ x$
 $\frac{1}{1+x^2}$
$a^x$
 $a^x\ln a$
${\rm ctg }\ x$
 $\frac{-1}{\sin^2 x}$
${\rm arcctg}\ x$
 $\frac{-1}{1+x^2}$
$\ln x$
 $\frac{1}{x}$





$\log_a x$
 $\frac{1}{a \log_a x}$







Differenciálási szabályok


Ha az $f$ és $g$ függvény differenciálható az $x_0$ pontban és $c\in \mathbb{R}$, akkor az alábbi függvényeknek is létezik
az adott pontban a deriváltjuk, mégpedig az alábbi értéketveszi fel:
$$(c f)'(x_0)=c f'(x_0) $$

$$(f\pm g)'(x_0)=f'(x_0) \pm g'(x_0)$$

$$(f \cdot g)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)$$

$$\left(\frac{f} {g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}, \quad g(x_0)\not=0$$


Megoldott feladatok:

  1. Az $f(x)=3{\rm ctg }\ x$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  2. Az $f(x)=x^4+\frac{3}{4}x^3-2x+6$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  3. Az $f(x)=\log_2 x+\sin x$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  4. Az $f(x)=\log_2 x\cdot\sin x$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  5. Az $f(x)=\frac{\log_2 x}{\sin x}$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  6. Az $f(x)=\frac{1}{x}\left(\cos x+\frac{1}{x^2}\right)$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!


Összetett függvény derivált függvénye

Ha a $g$ függvény differenciálható az $x_0$ pontban és az $f$  függvény differenciálható a $g(x_0)$ pontban akkor
az $f\circ g$ függvény is differenciálható az $x_0$ pontban és az alábbi értéket veszi fel:

$$(f (g(x_0)))'=f'(g(x_0)) g'(x_0).$$

Megoldott feladatok:

  1. Az $f(x)=\sin (2x)$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  2. Az $f(x)=\sin (x^3)$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  3. Az $f(x)=\sin^3 x$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  4. Az $f(x)=\ln^2 x$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  5. Az $f(x)=\sqrt{x^2+3x}$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  6. Az $f(x)=\ln (x^2+5)$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  7. Az $f(x)=e^{-x^2}$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!

  8. Az $f(x)=\sin\left(\frac{x^3+2x}{x^2+5}\right)$ függvény deriváltjának kiszámítása itt tekinthető meg!
 

Segédanyagok


Vissza az előző oldalra