Közönséges differenciálegyenletek alkalmazásai



Számos olyan szituáció van, amelyben egy $y$ mennyiség növekedése vagy csökkenése az illető mennyiség $t$ időpontbeli mennyiségével arányos.

Például: A radioaktív bomlás, a befektetési alapok növekedése, a populációk nagysága vagy egy csésze kávé és a szoba hőmérséklete közötti különbség egyaránt ilyen módon változik.

Radioaktív bomlás

Bizonyos atomok spontán módon részecskéket vagy sugárzást bocsátanak ki. A jelenséget radioaktív bomlásnak nevezzük. A kísérletek tanúsága szerint a radioaktív elemek bomlásának üteme a mintában meglévő atomok számával arányos. A radioaktív bomlást az alábbi egyenlet írja le
$$y'(t) = ky(t), \quad k<0.$$

Általánosan, ha a $t = 0$ időpontban a radioaktív atomok száma $y_0$, akkor $t$ idő elteltével $$y(t) = y_0e^{kt} $$ radioaktív atom lesz a mintában.


Megoldott feladat:

  1. A 210-es tömegszámú polóniumizotóp igen rövid életű, így célszerű, ha az időt nem években, hanem napokban mérjük. Egy minta $y(t)$ elemszámát az $y'=-5\cdot 10^{-3}y $ differenciálegyenlet írja le. Adjuk meg a felezési időt! A megoldás itt tekinthető meg!

Populáció változása

Ha a $t=0$ pillanatban a populáció egyedszáma, az $y$ mennyiség értéke $y_0$ , akkor a $t$ függvényében változó $y$ kielégíti a következő kezdetiérték-feladatot:

differenciálegyenlet: $y'(t)=k y(t)$

kezdeti feltétel: $y(0)=y_0$

Megoldott feladat:

  1. Egy baktériumtenyészet kezdetben $500$, egy óra múlva $1000$ baktériumból áll. 6 óra múlva mekkora  lesz a tenyészetünk? A megoldás itt tekinthető meg!


A Newton-féle hűlési törvény

Egy fémcsészében asztalon hagyott forró leves a szoba levegőjének hőmérsékletérehűl le. Egy nagy kád vízbe mártott forró ezüstöntvény addig hűl, amíg
hőmérséklete egyenlő nem lesz a víz hőmérsékletével.

Newton-féle hűlési törvény
Az ezekhez hasonló esetekben a vizsgált test hőmérséklet-változásának üteme jó közelítéssel egyenesen arányos a test és környezete hőmérsékletének különbségével. Ezt a tapasztalati tényt Newton-féle hűlési törvénynek nevezik, bár a felmelegedésre éppúgy alkalmazható, mint a lehűlésre.

A hűlési törvény képletének levezetéséhez jelölje $T(t)$ a test hőmérsékletét a $t$ időpontban, $T_S$ pedig a környezet (állandónak feltételezett) hőmérsékletét. A törvény szerinti differenciálegyenlet ekkor:
$$T'(t)=k(T(t)-T_S).$$

Megoldott feladat:

  1. Egy $120$°C-os motor hőmérséklete $30$ perc elteltével már csak $60$°C-os. Hány perc múlva lesz a hőmérséklete $40$°C-os,
    ha a külső hőmérséklet $30$°C. A megoldás itt tekinthető meg!


Torricelli-féle kiömlési törvény


Torricelli törvénye
Egy henger alakú tartályból az alsó csapon kifolyó pillanatnyi vízmennyiség arányos a felette lévő vízmagasság négyzetgyökével.
A $k$ arányossági tényező a nyílás méretétől függ. Ezt a tapasztalati tényt Torricelli-féle kiömlési törvénynek nevezik.

A törvény képletének levezetéséhez jelölje $V(t)$ a folyadék térfogatát a $t$ időpontban, $T_{alap}$ pedig a henger alaplapjának (állandónak feltételezett) területét. Így, ha a folyadék időben ($t$) változó magasságát $x(t)$-vel jelöljük, a térfogata: $$V(x(t))=T_{alap} x(t).$$
Torricelli törvénye alapján
$$V'(x(t))=-k\sqrt{x(t)}.$$

Megoldott feladat:

  1. Egy $1,2$m magas $180$l-es henger alakú saválló acéltartály $3/4$ részéig van borral. Mennyi idő alatt ürül ki a tartály, ha az arányossági tényező $k=6\,\frac{\mathrm{dm}^{\frac{1}{2}}}{\mathrm{min}}$? A megoldás itt tekinthető meg!


Harmonikus rezgőmozgás

Rezgésnek az olyan mozgást nevezzük, amikor egy test a nyugalmi helyzete körül végez kilengéseket.
Legyen $y(t)$ a tömegpont pozíciója $t$-ben, $y'(t)$ a tömegpont sebessége és $y''(t)$ a tömegpont gyorsulása. Az $y=0$ a tömegpont egyensúlyi helyzete. Newton 2. törvénye szerint $$F=m a.$$
Ha a surlódási erőtől eltekintünk, akkor a testre hat a harmonikus erő (harmonikus rezgőmozgás), amely Hooke törvénye szerint egyenesen arányos az elmozdulással, de ellentétes irányú, vagyis $-k y(t)$, ahol $k>0$ a rugóállandó. Így differenciálegyenletünk:
    $$ -k y(t)=m y''(t)$$

Ha a harmonikus erő mellett a súrlódási erőt is figyelembe vesszük, amely $-b y'(t)$, ahol $b\leq 0$ a súrlódási együttható, akkor csillapított rezgőmozgásról beszélünk. Ebben az esetben az alábbi differenciálegyenlet írja a rugó mozgását, $y(0)=0$ és $y'(0)=v_0$ kezdeti feltételekkel:
$$ -k y(t)-b y'(t)=m y''(t)$$
Az így adódó differenciálegyenlet egy másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet.

Megoldott feladat:

  1. Egy test csillapított rezgőmozgást végez az $ y''+0,4y'+0,04 y=0$ differenciálegyenlet szerint. Írjuk le e test helyzetét az idő függvényében, ha tudjuk,hogy $y(0)=0$ és $y(1)=0,3$. A megoldás itt tekinthető meg!

Nyomtatható tananyagok


Vissza az előző oldalra